Question

13．已知函數f（x）=2^x-5，g（x）=4x-x²，給下列三個命題：
p₁：若x∈R，則f（x）f（-x）的最大值為16；
p₂：不等式f（x）＜g（x）的解集為集合{x|-1＜x＜3}的真子集；
p₃：當a＞0時，若?x₁，x₂∈[a，a+2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，則a≥3，
那么，這三個命題中所有的真命題是（　　）

• A． p₁，p₂，p₃
• B． p₂，p₃
• C． p₁，p₂
• D． p₁

Answer 1

分析 給出f（x）f（-x）的表達式，結合基本不等式，可判斷p₁，在同一坐標系中作出函數f（x）=2^x-5，g（x）=4x-x²的圖象，數形結合，可判斷p₂，p₃

解答 解：∵函數f（x）=2^x-5，g（x）=4x-x²，
∴f（x）f（-x）=（2^x-5）（2^-x-5）=26-5（2^x+2^-x）≤26-10$\sqrt{{2}^{x}{2}^{-x}}$=16，
故p₁：若x∈R，則f（x）f（-x）的最大值為16，為真命題；
在同一坐標系中作出函數f（x）=2^x-5，g（x）=4x-x²的圖象如下圖所示：

由圖可得：p₂：不等式f（x）＜g（x）的解集為集合{x|-1＜x＜3}的真子集，為真命題；
p₃：當a＞0時，若?x₁，x₂∈[a，a+2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，則a≥3，為真命題；
故選：A

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數的圖象和性質，數形結合思想，基本不等式，難度中檔．