Question

設(shè)單調(diào)遞增等比數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃=7，且a₃是a₁，a₂+5的等差中項(xiàng)，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）數(shù)列{c_n}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，++…+=22+均成立，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】分析：（1）將已知條件a₁+a₂+a₃=7，且a₃是a₁，a₂+5的等差中項(xiàng)，用基本量表示，列出方程組，求出首項(xiàng)與公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．
（2）根據(jù)已知等式仿寫(xiě)出新等式，兩式相減求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．
解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則 ，
兩式相減，得a₁q²=4，（3分）
代入第一方程得，
（舍），
又a₁=1，
所以a_n=2^n-1（6分）
（2）對(duì)任意正整數(shù)n，均成立，
n=1時(shí)，c₁=13（8分）
當(dāng)n≥2時(shí)，，
兩式相減得
所以n≥2時(shí)，c_n=15-2n，
n=1也滿足此式 （12分）
∴=-n²+14n（14分）
點(diǎn)評(píng)：解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題，一般利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出基本量，然后在解決．