已知函數(shù)fn(x)=(1+
1
n
)x（n∈N*）．
（Ⅰ）比較fn′（0）與
1
n
的大�。�
（Ⅱ）求證：
f1′(1)
2
+
f2′(2)
3
+
f3′(3)
4
+…+
fn′(n)
n+1
＜3．
（Ⅰ）fn′(x)=(1+
1
n
)xln(1+
1
n
)
則fn′(0)=ln(1+
1
n
)，設(shè)函數(shù)φ（x）=ln（1+x）-x，x∈（0，1]
則φ′(x)=
1
1+x
-1=
-x
1+x
＜0，則φ（x）單調(diào)遞減，
所以ln（1+x）-x＜φ（0）=0，所以ln（1+x）＜x
則ln(1+
1
n
)＜
1
n
，即fn′(0)＜
1
n
；
（Ⅱ）
fn′(n)
n+1
=
(1+
1
n
)nln(1+
1
n
)
n+1
＜
(1+
1
n
)n
n(n+1)
．
因?yàn)?span mathtag="math" >(1+
1
n
)n＜1+1+
1
1•2
+
1
2•3
++
1
(n-1)n
=3-
1
n
＜3
則
f1′(1)
2
+
f2′(2)
3
+
f3′(3)
4
++
fn′(n)
n+1
＜3(
1
1•2
+
1
2•3
++
1
(n-1)n
)=3(1-
1
n
)＜3
則原結(jié)論成立．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)fn(x)=(1+
1
n
)x（n∈N*）．
（Ⅰ）比較fn′（0）與
1
n
的大小；
（Ⅱ）求證：
f1′(1)
2
+
f2′(2)
3
+
f3′(3)
4
+…+
fn′(n)
n+1
＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)fn(x)=x2+x+
12
的定義域是[n，n+1]（n是自然數(shù)），那么f1（x）的值域中共有
4
4
個(gè)整數(shù)；fn（x）的值域中共有
2n+2
2n+2
個(gè)整數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)fn(x)=
ln(x+n)-n
x+n
+
1
n(n+1)
（其中n為常數(shù)，n∈N*），將函數(shù)fn（x）的最大值記為an，由an構(gòu)成的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn．
（Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）若對(duì)任意的n∈N*，總存在x∈R+使
x
ex-1
+a=an，求a的取值范圍；
（Ⅲ）比較
1
en+1+e•n
+fn(en)與an的大小，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•合肥三模）已知函數(shù)fn(x)=
1
3
x3-
1
2
(n+1)x2+x(n∈N*)，數(shù)列{an}滿足an+1=f'n（an），a1=3．
（1）求a2，a3，a4；
（2）根據(jù)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并證明；
（3）求證：
1
(2a1-5)2
+
1
(2a2-5)2
+…+
1
(2an-5)2
＜
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)fn(x)＝(1＋x)n－1，（n∈N*，且n＞1）．

(Ⅰ) 設(shè)函數(shù)，求的最大值和最小值

(Ⅱ) 若求證：fn(x)≥nx.

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