給出下列四個(gè)命題：
①已知
a
=(3，  4)， 
b
=(0，  1)，則
a
在
b
方向上的投影為4；
②若函數(shù)y=（a+b）cos2x+（a-b）sin2x（x∈R）的值恒等于2，則點(diǎn)（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-2）；
③函數(shù)f(x)=
1
lgx
在（0，+∞）上是減函數(shù)；
④已知函數(shù)f（x）=ax2+（b+c）x+1（a≠0）是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇a-c，b]，則點(diǎn)（a，b）的軌跡是直線；
⑤P是△ABC邊BC的中線AD上異于A、D的動(dòng)點(diǎn)，AD=3，則
PA
•(
PB
+
PC
)的取值范圍是[-
9
2
，  0)．
其中所有正確命題的序號(hào)是
①③④⑤
①③④⑤
．
分析：①根據(jù)
a
在
b
方向上的投影為
a
•
b
|
b
|
，可得結(jié)論；
②先求點(diǎn)（a，b），即可得出結(jié)論；
③y=lgx在（0，+∞）上是增函數(shù)，可得函數(shù)f(x)=
1
lgx
在（0，+∞）上是減函數(shù)；
④利用函數(shù)是偶函數(shù)，求出b+c的值，確定a-c，b的關(guān)系，求出點(diǎn)（a，b）滿(mǎn)足的關(guān)系，即可得到；
⑤|AP|=t，t∈（0，3），則|PD|=3-t，故
PA
•(
PB
+
PC
)=2
PA
•
PD
=-2t（3-t）=2t2-6t，利用配方法可得結(jié)論．
解答：解：①已知
a
=(3，  4)， 
b
=(0，  1)，則
a
在
b
方向上的投影為
a
•
b
|
b
|
=4，故是真命題；
②∵函數(shù)y=（a+b）cos2x+（a-b）sin2x=（a-b）+2bcos2x的值恒等于2，∴
a-b=2
b=0
，∴a=2，b=0，∴點(diǎn)（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，0），故是假命題；
③∵y=lgx在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)=
1
lgx
在（0，+∞）上是減函數(shù)，故是真命題；
④函數(shù)f（x）=ax2+（b+c）x+1（a≠0）是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇a-c，b]，所以b+c=0，并且b=c-a，所以b=-b-a，即b=-
1
2
a，所以點(diǎn)（a，b）的軌跡是直線，故是真命題；
⑤設(shè)|AP|=t，t∈（0，3），則|PD|=3-t，∴
PA
•(
PB
+
PC
)=2
PA
•
PD
=-2t（3-t）=2t2-6t=-2(t-
3
2
)2+
9
2
，∵t∈（0，3），∴
PA
•(
PB
+
PC
)的取值范圍是[-
9
2
，  0)，故是真命題．
故答案為：①③④⑤
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判定，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

12、已知a、b是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：
①若a⊥α，a⊥β，則α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；
③若α∥β，a?α，b?β，則a∥b；
④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b．
其中正確命題的序號(hào)有
①④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=
1
x
的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②函數(shù)y=x2-4x+6，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇3，6]；
③函數(shù)y=3（x-1）2的圖象可由y=3x2的圖象向右平移1個(gè)單位得到；
④若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)f（2x）的定義域?yàn)閇0，1]；
⑤若A={s|s=x2+1}，B={y|x=
y-1
}，則A∩B=A．
其中正確命題的序號(hào)是
③④⑤
③④⑤
．（填上所有正確命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將邊長(zhǎng)為2，銳角為60°的菱形ABCD沿較短對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：
①EF∥AB；②直線EF是異面直線AC與BD的公垂線；③當(dāng)二面角A-BD-C是直二面角時(shí)，AC與BD間的距離為
6
2
；④AC垂直于截面BDE．
其中正確的是
②③④
②③④
（將正確命題的序號(hào)全填上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
①命題“?x0∈R，2x0≤0”的否定是“?x∈R，2x＞0”；
②log2sin
π
12
+log2cos
π
12
=-2；
③函數(shù)y=tan
x
2
的對(duì)稱(chēng)中心為（kπ，0），k∈Z；
④[cos（3-2x）]′=-2sin（3-2x）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=logaax（a＞0且a≠1）的定義域相同；
②函數(shù)y=x3與y=3x的值域相同；
③函數(shù)y=
1
2
+
1
2x-1
與y=
(1+2x)2
x•2x
都是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=（x-1）2與y=2x-1在區(qū)間[0，+∞）上都是增函數(shù)，其中正確命題的序號(hào)是（　�。�

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