Question

在直角坐標平面內，已知點A（2，0），B（-2，0），P是平面內一動點，直線PA、PB斜率之積為-．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點（，0）作直線l與軌跡C交于E、F兩點，線段EF的中點為M，求直線MA的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設P點的坐標為（x，y），依題意，有．由此可知動點P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）依題意，可設直線l的方程為，由方程組消去x，并整理得4（3m²+4）y²+12my-45=0，由此入手可推導出直線MA的斜率k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設P點的坐標為（x，y），
依題意，有
．（3分）
化簡并整理，得．
∴動點P的軌跡C的方程是．（4分）
（Ⅱ）依題意，直線l過點且斜率不為零，故可設其方程為
，（5分）
由方程組消去x，并整理得
4（3m²+4）y²+12my-45=0（6分）
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），M（x，y），則
∴，（7分）
∴
∴，
∴，（9分）
①當m=0時，k=0；（10分）
②當m≠0時，
∵，∴0．
∴．∴且k≠0．（11分）
綜合①②可知直線MA的斜率k的取值范圍是：-．（12分）
點評：本題考查軌跡方程的求法和直線方程的知識，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．