Question

已知矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)P（2，0），邊AB所在直線(xiàn)的方程為x-3y-6=0，點(diǎn)（-1，1）在邊AD所在的直線(xiàn)上，
（1）求矩形ABCD的外接圓的方程；
（2）已知直線(xiàn)l：（1-2k）x+（1+k）y-5+4k=0（k∈R），求證：直線(xiàn)l與矩形ABCD的外接圓恒相交，并求出相交的弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由l_AB：x-3y-6=0且AD⊥AB，點(diǎn)（-1，1）在邊AD所在的直線(xiàn)上，得到AD所在直線(xiàn)的方程是：y-1=-3（x+1）即3x+y+2=0，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，得到結(jié)果．
（2）根據(jù)所給的直線(xiàn)的方程看出直線(xiàn)是一個(gè)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)，判斷出定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，證明出直線(xiàn)與圓一定有交點(diǎn)，設(shè)PQ與l的夾角為θ，則d=|PQ|sinθ=，得到當(dāng)θ=90°時(shí)，d最大，|MN|最短，再寫(xiě)出直線(xiàn)的方程．
解答：解：（1）由l_AB：x-3y-6=0且AD⊥AB，點(diǎn)（-1，1）在邊AD所在的直線(xiàn)上
∴AD所在直線(xiàn)的方程是：y-1=-3（x+1）即3x+y+2=0
由得A（0，-2）…（3分）
∴
∴矩形ABCD的外接圓的方程是：（x-2）²+y²=8…（6分）
（2）直線(xiàn)l的方程可化為：k（-2x+y+4）+x+y-5=0l可看作是過(guò)直線(xiàn)-2x+y+4=0和x+y-5=0的交點(diǎn)（3，2）的直線(xiàn)系，即l恒過(guò)定點(diǎn)Q（3，2）
由于（3-2）²+2²=5＜8知點(diǎn)在圓內(nèi)，
∴直線(xiàn)與圓恒有交點(diǎn)，
設(shè)PQ與l的夾角為θ，則d=|PQ|sinθ=
當(dāng)θ=90°時(shí)，d最大，|MN|最短，
此時(shí)l的斜率為PQ斜率的負(fù)倒數(shù)-，
∴l(xiāng)：y-2=-（x-3）
即x+2y-7=0
點(diǎn)評(píng)：本題看出直線(xiàn)的方程和圓的方程的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是寫(xiě)出圓的方程，再表示出圓的弦，求出最長(zhǎng)的弦，本題是一個(gè)解析幾何的綜合題目．