Question

已知數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=

1

2

，S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*）
（1）求S_n；
（2）求a_n．

Answer 1

分析：（1）將a_n用S_n-S_n-1代換，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理可得{

n+1

n

Sn}為等差數(shù)列，從而求出S_n；
（2）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1（n≥2），代入S_n可求出數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)a_n，注意驗(yàn)證首項(xiàng)．

解答：解：（1）S_n=n²a_n-n（n-1）=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1）（n≥2）…（2分）
∴（n²-1）S_n-n²S_n-1=n（n-1）
∴

n+1

n

Sn -

n

n-1

Sn-1=1（n≥2）…（4分）
∴{

n+1

n

Sn}為等差數(shù)列
∴

n+1

n

Sn=1+n-1=n…（6分）
∴Sn=

n2

n+1

（n∈N^*）…（8分）
（2）Sn=

n2

n+1

a_n=S_n-S_n-1（n≥2）
∴an=

n2

n+1

-

(n-1)2

n

=1-

1

n(n+1)

…（10分）
當(dāng)n=1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證符合題意
故an=1-

1

n(n+1)

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了已知a_n與S_n的關(guān)系求S_n，以及已知S_n求a_n的方法，屬于中檔題．