Question

已知函數 f（x）=6lnx（x＞0）和 g（x）=ax²+8x（a為常數）的圖象在x=3 處有平行切線．
（1）求 a 的值；
（2）求函數F（x）=f（x）-g（x）的極大值和極小值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=，g′（x）=2ax+8，------------------（2分）
根據題意，得f′（3）=g′（3）
解得a=-1----------------------------------------------（4分）
（2）F（x）=f（x）-g（x）=6lnx+x²-8x-------------------（5分）
令F′（x）=+2x-8，----------------------------------（5分）
得 x=1，3------------------------------------------------（7分）
∵0＜x＜1時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調遞增；--------------（8分）
1＜x＜3時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調遞減；------------------（9分）
x＞3時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調遞增．----------------------（10分）
∴F（x） 的極大值為F（1）═-7，-------------------------（11分）
F（x） 的極小值為F（3）=-15+6ln 3-----------------------（12分）
分析：（1）先對兩個函數求導，再由題目條件知，f′（3）=g′（3）從而建立關于a的方程，可求得a的值．
（2）由（1）確定了函數及其導數的解析式，通過探討導數的符號得函數的單調性，即可的函數的極大值和極小值．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，同時考查了導數的幾何意義，以及學生靈活轉化題目條件的能力，是個中檔題．