Question

（2007•濰坊二模）如圖1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

1

2

AP=2，D為AP的中點，E，F，G分別為PC、PD、CB的中點，將△PCD沿CD折起，使點P在平面ABCD上的射影為點D，如圖2．
（I）求證：AP∥平面EFG；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的中位線定理、平行線的傳遞性、平行四邊形的判定定理、線面平行的判定定理等即可得出；
（II））由已知點P在平面ABCD上的射影為點D，可得PD⊥平面ABCD．即PD是三棱錐P-ABC的高．利用三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S△ABC×PD即可得出．

解答：（I）證明：取AD的中點H，連接FH、GH．
∵E，F，G分別為PC、PD、CB的中點，∴EF∥CD，CG

∥

.

DH，
∴四邊形CDHG是平行四邊形，∴CD∥GH．
∴EF∥GH．∴四點EFHG四點共面．
又FH∥PA．
PA?平面EFGH，FH?平面EFGH．
∴PA∥平面EFGH．
（II）解：∵點P在平面ABCD上的射影為點D，∴PD⊥平面ABCD．
即PD是三棱錐P-ABC的高．
而S△A BC=

1

2

×AB×BC=

1

2

×2×2=2．
∴三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S△ABC×PD=

1

3

×2×2=

4

3

．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、平行線的傳遞性、平行四邊形的判定定理、線面平行的判定定理、線面垂直的判定、三棱錐的體積計算公式等是解題的關鍵．