Question

如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，線段OF₁，OF₂的中點分別為B₁，B₂，且△AB₁B₂是面積為4的直角三角形．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；
（Ⅱ）過B₁作直線交橢圓于P，Q兩點，使PB₂⊥QB₂，求△PB₂Q的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓的方程為，F(xiàn)₂（c，0），利用△AB₁B₂是的直角三角形，|AB₁|=AB₂|，可得∠B₁AB₂為直角，從而，利用c²=a²-b²，可求，又S=|B₁B₂||OA|==4，故可求橢圓標準方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁（-2，0），B₂（2，0），由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設直線PQ的方程為x=my-2，代入橢圓方程，消元可得（m²+5）y²-4my-16-0，利用韋達定理及PB₂⊥QB₂，利用可求m的值，進而可求△PB₂Q的面積．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，F(xiàn)₂（c，0）
∵△AB₁B₂是的直角三角形，|AB₁|=AB₂|，∴∠B₁AB₂為直角，從而|OA|=|OB₂|，即
∵c²=a²-b²，∴a²=5b²，c²=4b²，∴
在△AB₁B₂中，OA⊥B₁B₂，∴S=|B₁B₂||OA|=
∵S=4，∴b²=4，∴a²=5b²=20
∴橢圓標準方程為；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁（-2，0），B₂（2，0），由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設直線PQ的方程為x=my-2
代入橢圓方程，消元可得（m²+5）y²-4my-16=0①
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴，
∵，
∴=
∵PB₂⊥QB₂，∴
∴，∴m=±2
當m=±2時，①可化為9y²±8y-16-0，
∴|y₁-y₂|==
∴△PB₂Q的面積S=|B₁B₂||y₁-y₂|=×4×=．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查三角形的面積計算，綜合性強．