Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F_lvF₂，離心率e=，A為右頂點(diǎn)，K為右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為B，問(wèn)是否存在直線l，使直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，且橢圓的左焦點(diǎn)F₁恰為△BCD的垂心？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由e=，得a=，利用可得，求出幾何量，從而求出橢圓方程；
（Ⅱ）直線F₁B：y=-x+m，代入x²+2y²=2整理，得3x²-4mx+2m²-2=0．利用橢圓的左焦點(diǎn)F₁恰為△BCD的垂心可得，從而可得，進(jìn)而可確定m的值，由此可得直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由e=，得a=．    ①
∵A為右頂點(diǎn)，K為右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，
∴A（a，0），K（，0），
∴=（c-a，0），=（-a，0），
∵
∴ ②
由①、②解得a=，c=1，
∵b²=a²-c²=1，∴b=1．
∴橢圓方程為．（5分）
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l滿足題意，B（0，1），F(xiàn)₁（-1，0），
于是直線F₁B的斜率為．
由于BF₁⊥CD，令l：y=-x+m，代入x²+2y²=2整理，得3x²-4mx+2m²-2=0．
令C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則
又=（x₁+1，y₁）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+x₂+y₁y₂-y₁=x₁x₂+x₂+（m-x₁）（m-x₂）-（m-x₁）
=2x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）-m+（x₁+x₂）=2x₁x₂+（1-m）（x₁+x₂）+m²-m，
由，代入x₁+x₂，x₁x₂得，
整理得3m²+m-4=0，
解得m=1或． （11分）
當(dāng)m=1時(shí)，直線l恰過(guò)B點(diǎn)，于是B、C、D不構(gòu)成三角形，故m=1舍去．
當(dāng)時(shí)，滿足△=8（3-m²）＞0．
故所求的直線l為：，即3x+3y+4=0．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查存在性問(wèn)題的研究，聯(lián)立直線方程與橢圓方程是解題的關(guān)鍵．