Question

已知橢圓的離心率，且橢圓過點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若M為橢圓C上的動點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，以M為圓心，MF長為半徑作圓M，過點(diǎn)E（-6，0）作圓M的兩條切線EA，EB（A，B為切點(diǎn)），求點(diǎn)M的坐標(biāo)，使得四邊形EAMB的面積最大．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，，解方程可求a，b，c，進(jìn)而可求橢圓的方程
（2）設(shè)M（x，y），圓M：（x-x）²+（y-y）²=r²，其中，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可求EA，再由S_EAMB=2S_△EAM=及，從而可把所求的面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的最值
解答：解：（1）依題意得，
…（3分）
解得，…（4分）
所以橢圓C的方程為．           …（5分）
（2）設(shè)M（x，y），圓M：（x-x）²+（y-y）²=r²，其中，（-2≤x≤2）…（7分）…（8分）
又M（x，y）在橢圓上，則…（9分）
所以，（-2≤x≤2）…（10分）
令，（-2≤x≤2）
，（-2≤x≤2）…（11分）
當(dāng)時，f′（x）＞0，當(dāng)時，f′（x）＜0…（12分）
所以當(dāng)時，f（x）有最大值，即時，四邊形EAMB面積取得最大值…（13分）
此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為或…（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，圓的切線的性質(zhì)的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，屬于知識的綜合性應(yīng)用．