Question

定義在R上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在[0，+∞）為增函數(shù)，對任意θ∈R，不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ________．

Answer 1

分析：本題是利用函數(shù)的單調(diào)性將抽象不等式變?yōu)槿�角不等式，再由三角函�?shù)的有界性求參數(shù)m的范圍，本題中為了利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式需要根據(jù)函數(shù)的奇偶性將不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0變?yōu)閒（cos2θ-3）＞f（-2m+sinθ），方便利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化．
解答：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且在[0，+∞）為增函數(shù)，易知函數(shù)f（x）為在（-∞，0]上遞增，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上遞增；
不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立
?不等式f（cos2θ-3）＞f（-2m+sinθ）恒成立
?不等式cos2θ-3＞-2m+sinθ恒成立
?2m＞2sin²θ+sinθ+2恒成立，
記g（θ）=2sin²θ+sinθ+2=2（sinθ+）²+，
g（θ）_max=g（1）=5
∴2m＞5?m＞．
故答案為
點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查綜合利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性研究不等式恒成立時參數(shù)的取值范圍，本題利用函數(shù)的性質(zhì)將不等式恒成立求參數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，本題中轉(zhuǎn)化后求最值要注意三角函數(shù)的有界性，求解本題時兩次利用轉(zhuǎn)化的思想，第一次是將不等式轉(zhuǎn)化為三角不等式，第二次是將三角不等式轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在某個區(qū)間上的最值，解題時要注意理解、領(lǐng)會本題中的轉(zhuǎn)化策略及理論依據(jù)．