Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=∠ADC=90゜，∠BAD=120゜，AD=AB=a，若PA=λa（λ＞0）．
（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）當λ為何值時，點A在平面PBD內(nèi)的射影G恰好是△PBD的重心？

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結BD，AC交于點O，由AB=AD，AC=AC，∠ADC=∠ABC=90°，推斷出△ABC≌△ADC，進而可知∠BAC=∠CAD，求得∠BAC，又AB=AD，∠BAD=120゜，則∠ABD可求，進而求得∠BOA=90°，即AC⊥BD，根據(jù)線面垂直的性質推斷出PA⊥BD，進而利用線面垂直的判定定理推斷出BD⊥平面PAC，又BD?平面PBD，推斷出平面PBD⊥平面PAC．
（2）連結PO，由A向PO作垂線，垂足為E，由于BO=OD，推斷出△PBD的重心必在OP上，假設E為△PBD的重心，PA²=PG•PO=

2

3

PO²，
求得AO，進而利用勾股定理建立等式PO²=（λa）²+

a2

4

，求得λ．

解答： （1）證明：連結BD，AC交于點O，
∵AB=AD，AC=AC，∠ADC=∠ABC=90°，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠BAD=120゜，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AD，∠BAD=120゜，
∴∠ABD=30°，
∴∠BOA=180°-30°-60°=90°，即AC⊥BD，
∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵AC∩PA=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
（2）連結PO，由A向PO作垂線，垂足為E，
∵BO=OD，
∴△PBD的重心必在OP上，假設E為△PBD的重心，
則PA²=PG•PO=

2

3

PO²，
AO=

1

2

AB=

a

2

，
∴PO²=（λa）²+

a2

4

，
∴

2

3

[（λa）²+

a2

4

=（λa）²，求得λ=

2

2

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理的應用．在立體幾何的解題過程中，作輔助線是較為關鍵的一步．