Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{mx+n}{{x}^{2}+1}$是定義在（-1，l）上的奇函數(shù)，且f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{2}{5}$．
（I）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-l，1）時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 （I）利用f（0）=0，求出n，利用f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{2}{5}$，求出m，即可確定函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）=$\frac{mx+n}{{x}^{2}+1}$是定義在（-1，l）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴n=0，
∴f（x）=$\frac{mx}{{x}^{2}+1}$，
∵f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{2}{5}$，
∴m=1，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$；
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-x•2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{-（x+1）（x-1）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
∵x∈（-l，1），
∴f′（x）＞0，
∴當(dāng)x∈（-l，1）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．