Question

設a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）當a≠b時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當x＞0時，稱f（x）為a、b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)．
（i）判斷f（1），f（），f（）是否成等比數(shù)列，并證明f（）≤f（）；
（ii）a、b的幾何平均數(shù)記為G．稱為a、b的調(diào)和平均數(shù)，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，利用導數(shù)的正負，結(jié)合分類討論，即可求得數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）（i）利用函數(shù)解析式，求出f（1），f（），f（），根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論；
（ii）利用定義，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可確定x的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為{x|x≠-1}，
∴當a＞b＞0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
當0＜a＜b時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）（i）計算得f（1）=，f（）=，f（）=．
∵
∴f（1），f（），f（）成等比數(shù)列，
∵a＞0，b＞0，∴≤
∴f（）≤f（）；
（ii）由（i）知f（）=，f（1）=．
故由H≤f（x）≤G，得f（）≤f（x）≤f（1）．
當a＞b＞0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．這時≤x≤1，即x的取值范圍為≤x≤1；
當0＜a＜b時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x的取值范圍為1≤x≤．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查等比數(shù)列，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．