Question

16．同時滿足兩個條件：（1）定義域內(nèi)是減函數(shù)；（2）定義域內(nèi)是奇函數(shù)的函數(shù)是（　�。�

• A． f（x）=-x|x|
• B． $f（x）=x+\frac{1}{x}$
• C． f（x）=tanx
• D． $f（x）=\frac{lnx}{x}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義域判斷出f（x）是奇函數(shù)、化簡f（x）后由二次函數(shù)的單調(diào)性判斷出f（x）的單調(diào)性，可判斷A；由基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷B、C，根據(jù)f（x）的定義域判斷D．

解答 解：A、因為f（x）的定義域是R，且f（x）=x|-x|=-f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)，
因為f（x）=-x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x＞0}\\{{x}^{2}，x≤0}\end{array}\right.$，所以f（x）在定義域上是減函數(shù)，
可知符合題中條件，A正確；
B、函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$在定義域{x|x≠0}不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意，B不正確；
C、f（x）=tanx在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，C不正確；
D、函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），關于原點不對稱，不是奇函數(shù)，D不正確．
故選A．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的定義，以及基本初等函數(shù)的單調(diào)性的應用，熟練掌握基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解題的關鍵．