Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₄=S₂，a_2n+2=2a_n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

4

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，并求T_n的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項公式求出a₁=4，d=2，由此能求出a_n=2n+2．
（2）由b_n=

4

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂項求和法能求出

1

6

≤Tn＜

1

2

．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₄=S₂，a_2n+2=2a_n，
∴

a1+3d=2a1+d a1+(2n-1)d+2=2[a1+(n-1)d]

，
解得a₁=4，d=2，
∴a_n=4+（n-1）×2=2n+2．
（2）b_n=

4

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
∴Tn＜

1

2

，又Tn=

1

2

-

1

n+2

是增函數(shù)，∴（T_n）_min=T₁=

1

2

-

1

1+2

=

1

6

，
∴

1

6

≤Tn＜

1

2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．