Question

各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)的和為S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n與前n項(xiàng)和S_n；
（2）記T_n為數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和，若T_n≤λa_n+1對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)公差為d，利用S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，建立方程，即可求得首項(xiàng)與公差，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法，可求數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和，則T_n≤λa_n+1對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，
等價(jià)于λ≥

n

2(n+2)2

對(duì)?n∈N^*恒成立，求得

n

2(n+2)2

的最大值即可．

解答： 解：（1）設(shè)公差為d，則
∵S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列
∴4a₁+6d=14，（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d）
∵d≠0，∴d=1，a₁=2，
∴a_n=n+1，
s_n=

n(2+n+1)

2

=

n(n+3)

2

．
（2）

1

an•an+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

∵T_n≤λa_n+1對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，
∴

n

2(n+2)

≤λa_n+1對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，
等價(jià)于λ≥

n

2(n+2)2

對(duì)?n∈N^*恒成立．
又

n

2(n+2)2

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

2(4+4)

=

1

16

，且在n=2時(shí)取等號(hào)，
所以實(shí)數(shù)λ的最小值為

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力以及恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，綜合性強(qiáng)，屬于難題．