設(shè)△ABC的外心為O,重心為G,取點H,使.求證:
(Ⅰ)點H為△ABC的垂心;
(Ⅱ)△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上.

【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)O為△ABC的外心,可得,利用向量的加減法,向量的數(shù)量積,可證AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB,從而問題得證;
(Ⅱ)延長AG交BC于D,則D為BC中點,根據(jù)G為△ABC之重心,證明,即可得O,G,H三點共線.
解答:證明:(Ⅰ)∵O為△ABC的外心,∴,
,∴,

,即AH⊥BC,
同理BH⊥AC,CH⊥AB,
∴H為△ABC的垂心;
(Ⅱ)延長AG交BC于D,則D為BC中點,∴,
∵G為△ABC之重心,∴
,
,∴,
∴O,G,H三點共線.
點評:本題考查向量知識的運用,考查向量的數(shù)量積,考查向量共線,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)△ABC的外心為O,以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形,第四個頂點為D,再以O(shè)C、OD為鄰邊作平行四邊形,它的第四個頂點為H.
(1)若
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=
c
,用
a
、
b
c
表示
OH
;
(2)求證:AH⊥BC;
(3)設(shè)△ABC中,∠A=60°,∠B=45°,外接圓半徑為R,用R表示
|OH|
.(外心是三角形外接圓的圓心)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)△ABC的外心為O,重心為G,取點H,使
OH
=
OA
+
OB
+
OC
.求證:
(Ⅰ)點H為△ABC的垂心;
(Ⅱ)△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)設(shè)△ABC的外心為O(三角形外接圓的圓心),其外接圓半徑為1,以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形,第四個頂點為D,再以O(shè)C,OD為鄰邊作平行四邊形,它的第四個頂點為H.若
OA
=a,
OB
=b,
OC
=c

(1)用a,b,c表示
OH
;
(2)求證:點H為△ABC的垂心;
(3)設(shè)△ABC中,∠A=60°,∠B=45°,求|
OH
|

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設(shè)△ABC的外心為O,重心為G,取點H,使數(shù)學公式.求證:
(Ⅰ)點H為△ABC的垂心;
(Ⅱ)△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上.

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