Question

對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列A:a_1,a₂,…,a_n,定義變換T₁，T₁將數(shù)列A變換成數(shù)列T₁（A）：n,a₁-1,a₂-1,…,a_n-1.

對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列B：b₁,b₂, …,b_m,定義變換T₂，T₂將數(shù)列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列T₂（B）：又定義

S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b²₁+b²₂+…+b²_m.

設(shè)A₀是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令A_k+1=T₂(T₁(A_k))(k=0,1,2, …)

（Ⅰ）如果數(shù)列A₀為5，3，2，寫出數(shù)列A₁,A₂；

（Ⅱ）對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證明S（T₁（A））=S（A）；

（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A₀，存在正整數(shù)K，當(dāng)k≥K時，S(A_k+1)=S(A_k).

Answer 1

（Ⅰ）解：A₀：5,3,2,

                T₁(A₀):3,4,2,1

               A₁=T₂(T₁(A₀)):4,3,2,1;

               T₂(A₁):4,3,2,1,0

               A₂=T₂(T₁(A₁)):4,3,3,1.

（Ⅱ）證明：設(shè)每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A為a₁,a₂, …,a_n，

則為n,a₁-1,a₂-1,…,a_n-1,

從而

                                                

　　　　　　又

所以

＝

                     故

（Ⅲ）證明：設(shè)A是每項均為非負整數(shù)的數(shù)列a₁,a₂, …，a_n.

當(dāng)存在，使得a_i≤a_j時，交換數(shù)列A的第i項與第j項得到數(shù)列B.則

                     ＝2

當(dāng)存在1≤m＜n,使得時，若記數(shù)列為a₁,a₂, …，a_m為C，則S(C)=S(A).

所以

從而對于任意給定的數(shù)列A₀，由A_k+1=T₂(T₁(A_k))(k=0,1,2,…)可知

S(A_k+1)≤S(T₁(A_k)).

又由（Ⅱ）可知S(T₁(A_k))=S(A_k)，所以.

即對于N,要么有S(A_k+1)=S(A_k)，要么有-1.

因為S(A_k)是大于2的整數(shù)，所以經(jīng)過有限步后，必有

即存在正整數(shù)K，當(dāng)k≥K時，