Question

數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數(shù)列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和為S_n；
（2）若a_n=log₂b_n+3，求證數(shù)列{a_n}（是等差數(shù)列，并求出其通項(xiàng)．

Answer 1

解：（1）∵b₁+b₃=5，b₁b₃=4．且數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數(shù)列
∴b₃=4，b₁=1，q=2
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，b_n=b₁q^n-1=2^n-1
由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，
（2）由（1）可得，a_n=log₂b_n+3=n+2
則a_n-a_n-1=n+2-（n+1）=1
∴數(shù)列{a_n}是以1為公差的等差數(shù)列，通項(xiàng)a_n=n+2
分析：（1））由b₁+b₃=5，b₁b₃=4．且數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數(shù)列可得b₃=4，b₁=1，q=2，分別代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式可求；
（2）由（1）可得a_n=n+2從而有a_n-a_n-1=n+2-（n+1）=1，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：（1）主要考查了等比數(shù)列的基本運(yùn)算（2）要證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，利用定義法只需證：a_n-a_n-1=d（常數(shù)）