如圖，四棱錐P－ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側面PDC是邊長為a的正三角形，且平面PDC⊥平面ABCD，E為PC的中點．

(1)求異面直線PA與DE所成的角的余弦值．

(2)求點D到平面PAB的距離．

 

【答案】

解　如圖取DC的中點O，連結PO，

∵△PDC為正三角形，∴PO⊥DC

又∵面PDC⊥面ABCD

∴PO⊥面ABCD

∴以O為坐標原點OC、OP所在直線為y軸，z軸建立如圖所示直角坐標系，

則P(0,0，a)，A(a，,0)，B(a，,0)，C(0，,0)，

D(0，,0)．

 (1)∵E為PC的中點，∴E(0，，)

＝(0，a,0)，

＝(0，a,0)，

設平面PAB的一個法向量為n＝(x，y，z)，則

n⊥，n⊥＝(0，a,0)，

【解析】略

 

練習冊系列答案
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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點D到平面PCE的距離．

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（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大�。�

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如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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精英家教網如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
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CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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