若a3＋b3＝2，求證：a＋b≤2．

答案：
解析：

　　證法一：假設a＋b＞2，則

　　a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＞2(a2－ab＋b2)，而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2＜1．

　　∴1＋ab＞a2＋b2≥2ab，

　　從而ab＜1．

　　∴a2＋b2＜1＋ab＜2．

　　∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＜2＋2ab＜4．

　　∴a＋b＜2．

　　這與假設矛盾，故a＋b≤2．

　　證法二：假設a＋b＞2，則a＞2－b，故

　　2＝a3＋b3＞(2－b)3＋b3，

　　即2＞8－12b＋6b2，即(b－1)2＜0，

　　這不可能，從而a＋b≤2．

　　證法三：假設a＋b＞2，則

　　(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)＞8．

　　由a3＋b3＝2，得

　　3ab(a＋b)＞6，故

　　ab(a＋b)＞2．

　　又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，

　　∴ab(a＋b)＞(a＋b)(a2－ab＋b2)．

　　∴a2－ab＋b2＜ab，

　　即(a－b)2＜0．這不可能，故a＋b≤2．

　　點評：本題三種方法均采用反證法，有的推至與已知矛盾，有的推至與已知事實矛盾；一般說來，結論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等字句，或結論以否定語句出現(xiàn)，或結論肯定過頭時，都可以考慮用反證法．


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(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

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數(shù)列{}的前n項和記為，a1＝t，＝2＋1（n∈N＋）．

       （Ⅰ）當t為何值時，數(shù)列{}是等比數(shù)列；

       （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若等差數(shù)列{}的前n項和有最大值，且＝15，又

       a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列，求．

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：河南省南陽市2011-2012學年高三上學期期終質(zhì)量評估數(shù)學（理） 題型：解答題

 

    數(shù)列{}的前n項和記為，a1＝t，＝2＋1（n∈N＋）．

    （Ⅰ）當t為何值時，數(shù)列{}是等比數(shù)列；

    （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若等差數(shù)列{}的前n項和有最大值，且＝15，又

    a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列，求．

 

 

 

 

 

 

 

 

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