Question

已知：f（x）=acosx+bcos2x+1
（1）若g（x）=f（x）-acosx+2（b＞0），將函數y=g（x）的圖象左移個單位得函數y=h（x）的圖象，求函數y=h（x）的周期與單調增區(qū)間；
（2）若b≤0，對任意x均有f（x）≥0恒成立，求a+b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出 g（x）的解析式，根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律求得函數h（x）的解析式，從而求出函數y=h（x）的周期與單調增區(qū)間．
（2）令t=cosx∈[-1，1]，g（t）=2bt²+at+1-b（t∈[-1，1]），則g（t）≥0，再分當b=0、和當b＜0兩種情況，分別求出a+b的最大值，從而得出結論．
解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-acosx+2（b＞0）=b•cos2x+3，將函數y=g（x）的圖象左移個單位得函數y=bcos2（x+）+3=的圖象，
故h（x）=（b＞0）．…1′
故函數y=h（x）的周期為π，由2kπ-π  2kπ，k∈z，可得≤x≤，故單調增區(qū)間為，（k∈Z）．…6′
（2）因為b≤0，對任意x恒有f（x）≥0成立，則2bcos²x+acosx+1-b≥0
令t=cosx∈[-1，1]，g（t）=2bt²+at+1-b（t∈[-1，1]），則有g（t）≥0．…7′
當b=0時，g（t）=at+1有g（1）≥0且g（-1）≥0，即-1≤a≤1，（a+b）_max=1；…9′
當b＜0時，g（t）=2bt²+at+1-b（t∈[-1，1]）有：，
即，即-1≤a+b≤2b+1＜1，…11′
綜上可得：（a+b）_max=1．…12′
點評：本題主要考查余弦函數的增區(qū)間，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，求三角函數的最值，屬于中檔題．