Question

如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：作BE⊥AD于E，連接CE，說明B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．
取BC中點F，推出四面體ABCD的體積的最大值，當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，求解即可．
解答： 解：作BE⊥AD于E，連接CE，則AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，
由題設(shè)，B與C都是在以AD為焦點的橢圓上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
AB+BD=AC+CD=2a，顯然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．
取BC中點F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，四面體ABCD的體積的最大值，只需EF最大即可，
當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，
∴AB=a，所以EB=，EF=，
所以幾何體的體積為：×=．
故答案為：．
點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計算能力．