Question

（本題10分）

已知函數(shù) (為實常數(shù))．

（1）若，求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值及相應(yīng)的值；

（3）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時，，

∵，又，

∴，故函數(shù)在上是增函數(shù)．             …………2分

（2）∵，

而時，，

∴①當(dāng)，即時，（僅當(dāng)時，），

故函數(shù)在上為增函數(shù)，此時

②當(dāng)，且，即時，

令得，（）

∵時，；時，，

∴，

③當(dāng)，即時，（僅當(dāng)時，），

故函數(shù)在上為減函數(shù)，此時．

綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為1，相應(yīng)的值為1；

當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，相應(yīng)的值為；

當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，相應(yīng)的值為．    ………… 6分

（3）法一：

由不等式，即，

化為，

∵，∴且等號不能同時取到，所以，即，

∴（）

令（），又，

∵，

∴，，，

從而，僅當(dāng)時取等號，所以在上為增函數(shù)，

故的最小值為，所以的取值范圍是．      …………10分

（3）法二：

設(shè)，

則，

∵，∴ ，，

∴①當(dāng)，即時，，∴在上為增函數(shù)，

∴，由題意，解得，∴；

②當(dāng)，即時，

若，則，在上為減函數(shù)；

若，則，在上為增函數(shù)；

∴，

由題意，

因為，所以式恒成立，∴；

③當(dāng)，即時，，在上為減函數(shù)，

∴，由題意，

解得，因為，∴；

綜上所述：的取值范圍是．                          …………10分