Question

【題目】如圖1，在中，，，，、分別是、上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）當(dāng)長為多少時，異面直線，所成的角最小，并求出此時所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）當(dāng)時，異面直線，所成的角最小，此時所成角的余弦值為

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)線線垂直線面垂直（Ⅱ）利用垂直關(guān)系寫出函數(shù)關(guān)系，求函數(shù)的最小值，最后結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可求得。

解：（Ⅰ）證明：因為平面，

又平面，所以，

平面；

（Ⅱ）如圖，連結(jié)，并設(shè)，，，

由（Ⅰ）中平面，所以有，從而在中，

，

又在中，，

顯然，當(dāng)時，，

即（或是為中點）時，線段的長度有最小值，最小值是.

又因為，且，則即為異面直線，所成的角，

又在中，.結(jié)合余弦函數(shù)在銳角范圍上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)取最大時，取最小.

綜上，當(dāng)時，異面直線，所成的角最小，此時所成角的余弦值為.