Question

已知，A是拋物線(xiàn)y²＝2x上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作圓（x－1）²＋y²＝1的兩條切線(xiàn)分別切圓于EF兩點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于M．N兩點(diǎn)，交y軸于                  B．C兩點(diǎn)

      （1）當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4）時(shí)，求直線(xiàn)EF的方程；

      （2）當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）時(shí)，求直線(xiàn)MN的方程；

      （3）當(dāng)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2時(shí)，求△ABC面積的最小值。

Answer 1

（1）∵DEFA四點(diǎn)共圓

EF是圓（x－1）²＋y²＝1及（x－1）（x－8）＋y（y－4）＝０的公共弦

∴EF的方程為7x＋4y－8＝0………………………………………………4分

（2）設(shè)AM的方程為y－2＝k（x－2）

即kx－y＋2－2k＝0與圓（x－1）²+y²＝1相切得

＝1

∴k＝

把y－2＝（x－2）代入y²＝2x得M（，），而N（2，－2）

∴MN的方程為3x＋2y－2＝0………………………………………………8分

（3）設(shè)P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨設(shè)b＞c，

直線(xiàn)PB的方程為y－b＝，

即（y₀－b）x－x₀y＋x₀b＝0

又圓心（1，0）到PB的距離為1，所以＝1，故

（y₀－b）²＋x＝（y₀－b）²＋2x₀b（y₀－b）+ xb²

又x₀＞2，上式化簡(jiǎn)得（x₀－2）b²＋2y₀b－x₀＝0

同理有（x₀－2）c²＋2y₀c－x₀＝0

故b，c是方程（x₀－2）t²＋2y₀t－x₀＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

所以b＋c＝，bc＝，則（b－c）²＝

因?yàn)镻（x₀，y₀）是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，所以有y＝2x₀，則

（b－c）²＝，b－c＝，

∴S_△PBC＝（b－c）x₀＝＝x₀－2＋＋4≥2＋4＝8

當(dāng)（x₀－2）²＝4時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)x₀＝4，y＝±2

因此S_△PBC的最小值為8…………………………………………………………13分