【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調性；

（2）若，設，證明：，，使.

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1），分，，，四種情況討論即可；

（2）問題轉化為，利用導數(shù)找到與即可證明.

（1）.

①當時，恒成立，

當時，；

當時，，所以，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

②當時，，.

當時，；

當時，；

當時，，所以，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

在上是減函數(shù).

③當時，，

則在上是減函數(shù).

④當時，，

當時，；

當時，；

當時，，

所以，在上是減函數(shù)，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

（2）由題意，得.

由（1）知，當，時，，

.

令，，

故在上是減函數(shù)，有，

所以，從而.

，，

則，

令，顯然在上是增函數(shù)，

且，，

所以存在使，

且在上是減函數(shù)，

在上是增函數(shù)，

，

所以，

所以，命題成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司甲、乙兩個班組分別試生產同一種規(guī)格的產品，已知此種產品的質量指標檢測分數(shù)不小于70時，該產品為合格品，否則為次品，現(xiàn)隨機抽取兩個班組生產的此種產品各100件進行檢測，其結果如下表：

質量指標檢測分數(shù)

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）

[90，100]

甲班組生產的產品件數(shù)

7

18

40

29

6

乙班組生產的產品件數(shù)

8

12

40

32

8

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計甲、乙兩個班組生產該種產品各自的不合格率；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95％的把握認為該種產品的質量與生產產品的班組有關？

甲班組

乙班組

合計

合格品

次品

合計

（3）若按合格與不合格比例，從甲班組生產的產品中抽取4件產品，從乙班組生產的產品中抽取5件產品，記事件A：從上面4件甲班組生產的產品中隨機抽取2件，且都是合格品；事件B：從上面5件乙班組生產的產品中隨機抽取2件，一件是合格品，一件是次品，試估計這兩個事件哪一種情況發(fā)生的可能性大．

附：

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長為4的正方形，平面，分別為的中點.

（1）證明：平面.

（2）若，求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有下列命題：

①函數(shù)與的圖象關于軸對稱；

②若函數(shù)，則，都有；

③若函數(shù)，在上單調遞增，則；

④若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為．

其中真命題的序號是______．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上，當PA最長時，則______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，平面底面，且，，分別為，的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下圖是某機械零件的幾何結構，該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后，左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4，且兩個四棱柱的側棱互相垂直.則這個幾何體的體積為________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝asinθ（a≠0）.

（1）求圓C的直角坐標方程與直線l的普通方程；

（2）設直線l截圓C的弦長是半徑長的倍，求a的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：從2017年秋季高中入學的新生開始，不分文理科；2020年開始，高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學等六門選考科目構成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級.參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．

某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布N（60,169）．

（Ⅰ）求物理原始成績在區(qū)間（47,86）的人數(shù)；

（Ⅱ）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記X表示這3人中等級成績在區(qū)間[61,80]的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.

（附：若隨機變量，則，，）

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