Question

已知實數(shù)m＞0，a＞0，直線l：

x

a

+y=m與橢圓C：

x2

a2

+y2=1相切于點P．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）設直線l′：

x

a

+y=n與橢圓C有兩個不同的交點A，B，若

PA

•

PB

的最小值為-1，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由題意，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根的判別工即可求得m值，從而解決問題．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可知切點p(

2

2

a，

2

2

)．設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則

x1

a

+y1=n，

x2

a

+y2=n，且y₁，y₂是方程組

x a +y=n x2 a2 +y2=1

消去x所得的方程2y²-2ny+n²-1=0的兩個不同實根，從而有△＞0，得出n的取值范圍，最后結合根系數(shù)的關系利用向量的坐標運算公式即可求得a值，從而求出橢圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得

x a +y=m x2 a2 +y2=1

消去x得2y²-2my+m²-1=0有兩個相等的實數(shù)根，
即△=4m²-8（m²-1）=0，而m＞0，故m=

2

（Ⅱ）由（Ⅰ），可知切點p(

2

2

a，

2

2

)．
設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則

x1

a

+y1=n，

x2

a

+y2=n，且y₁，y₂是方程組

x a +y=n x2 a2 +y2=1

消去x所得的方程2y²-2ny+n²-1=0的兩個不同實根，
從而有△=4n²-8（n²-1）＞0，
∴-

2

＜n＜

2

，且y1+y2=n，y1•y2=

1

2

(n2-1)．
∴x₁+x₂=a（n-y₁）+a（n-y₂）=a（2n-（y₁+y₂））=an.x1•x2=a(n-y1)•a(n-y2)=a2•[n2-n(y1+y2)+y1•y2]=

1

2

a2(n2-1)．
又由于

PA

=(x1-

2

2

a，y1-

2

2

)，

PB

=(x2-

2

2

a，y2-

2

2

)，
∴f(n)=

PA

•

PB

．
則f(n)=

PA

•

PB

=(x1-

2

2

a)•(x2-

2

2

a)+(y1-

2

2

)•(y2-

2

2

)
=x1•x2-

2

2

a(x1+x2)+

1

2

a2+y1y2-

2

2

(y1+y2)+

1

2

=

1

2

(a2+1)(n2-

2

n)．
由-

2

＜n＜

2

，知f（n）=

1

2

(a2+1)(n2-

2

n)的最小值為f(

2

2

)=-

1

4

(a2+1)．
即，當n=

2

2

，有-

1

4

(a2+1)=-1，可求得a=

3

∴所求橢圓方程為

x2

3

+y2=1．

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、向量坐標運算的應用、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．