Question

在一次考試中共有8道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)得0分”．某考生已確定有4道題答案是正確的，其余題中：有兩道只能分別判斷2個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道僅能判斷1個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道因不理解題意只好亂猜，求：
（1）該考生得40分的概率；
（2）該考生得多少分的可能性最大？
（3）該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，該考生8道題全答對(duì)即另四道題也全答對(duì)，根據(jù)相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，計(jì)算可得答案．
（2）該考生選擇題得分的可能取值有：20，25，30，35，40共五種．設(shè)選對(duì)一道“可判斷2個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”題目為事件A，“可判斷1個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”該題選對(duì)為事件B，“不能理解題意的”該題選對(duì)為事件C．得分為20，表示只做對(duì)有把握的那4道題，其余各題都做錯(cuò)；得分為25時(shí)，表示做對(duì)有把握的那4道題和另外四題中的一題（其中做對(duì)另外四題中的一題分為：A

.

A

.

B

.

C

，

.

A

.

A

 B

.

C

，

.

A

.

A

.

B

C）；得分為30時(shí)，表示做對(duì)有把握的那4道題和另外四題中的二題（其中做對(duì)另外四題中的二題分為：AA

.

B

.

C

，

.

A

A

.

B

C，）；得分為35時(shí)，表示做對(duì)有把握的那4道題和另外四題中的三題；得分為40時(shí)，表示8題全部做對(duì)，做出概率．
（3））由題意知變量的可能取值分別是20，25，30，35，40，根據(jù)第二問做出的結(jié)果，寫出離散型隨機(jī)變量的分布列，根據(jù)期望的定義，即可求出期望

解答：解：（1）設(shè)選對(duì)一道“可判斷2個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”題目為事件A，“可判斷1個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”該題選對(duì)為事件B，“不能理解題意的”該題選對(duì)為事件C．則P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

所以得（40分）的概率P=(P(A))2•P(B)•P(C)=(

1

2

)2×

1

3

×

1

4

=

1

48

（2）該考生得（20分）的概率P=[P(

.

A

)]2P(

.

B

) P(

.

C

) =

1

4

×

2

3

×

3

4

=

6

48

該考生得（25分）的概率：P=C21P(A)P(

.

A

) P(

.

B

)P( 

.

C

) +[P(

.

A

)]2P(B)P(

.

C

) +[P(

.

A

)]2P(

.

B

)P(C)=2×(

1

2

)2×

2

3

×

3

4

+

1

4

×

1

3

×

3

4

+

1

4

×

2

3

×

1

4

=

17

48

該考生得（30分）的概率：
P=[P(A)]2 P(

.

B

)P(

.

C

) +C21[P(

.

A

)] P(A) P(

.

B

)P( C) +C21P(

.

A

) P(A) P(B)P(

.

C

) +[P(

.

A

)]2 P(B)P(C)=(

1

2

)2×

2

3

×

3

4

+2×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+2×

1

2

×

1

3

×

1

2

×

3

4

+(

1

2

)2×

1

3

×

1

4

=

17

48

該考生得（35分）的概率：
P=C21P(A)P(

.

A

) P(B)P( C) +[P(A)]2P(B)P(

.

C

) +[P(A)]2P(

.

B

)P(C)
=2× 

1

2

× 

1

2

×

1

3

×

1

4

 +(

1

2

)2×

1

3

×

3

4

+(

1

2

)2×

2

3

×

1

4

=

7

48

∵

17

48

＞

7

48

 ＞

6

48

＞

1

48

∴該考生得（25分）或（30分）的可能性最大
（3）該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望Eξ=20×

6

48

+25×

17

48

+30×

7

48

+35×

7

48

+ 40×

1

48

=

3356

12

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查互斥事件的概率，考查學(xué)生利用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，是一個(gè)綜合題目