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已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AA1,CC1的中點,AC⊥BC,點F在線段AB上,且AB=4AF.
(Ⅰ)求證:BC⊥C1D;
(Ⅱ)若M為線段BE上一點,BE=4ME求證:C1D∥平面B1FM.

【答案】分析:(Ⅰ)利用線面垂直的性質,證明.
(Ⅱ)利用線面平行的判定定理證明C1D∥AE即可.
解答:解:(Ⅰ)由直三棱柱可知CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC,…(2分)
又因為AC⊥BF,CC1∩BF=F,AC⊥面BCF,
故AC⊥BC,…(4分)
又在直三棱柱中,CC1⊥BC,CC1∩AC=C,
故BC⊥面AC1C,C1D在平面ACC1內,所以BC⊥C1D;  …(6分)
(Ⅱ)連結FM,B1M,FB1在△BEA中,由BE=4ME,AB=4AF,所以MF∥AE,
又在面AA1C1C中,易證C1D∥AE,所以C1D∥平面B1FM.    …(14分)
點評:本題主要考查空間直線和平面之間的位置關系的判斷,要求熟練掌握相應的判定定理和性質定理.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F分別是棱CC1、AB中點.
(Ⅰ)求證:CF⊥BB1;
(Ⅱ)求四棱錐A-ECBB1的體積;
(Ⅲ)判斷直線CF和平面AEB1的位置關系,并加以證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,且D,E,F分別為BC,BB1,AA1的中點.
(I) 求證:平面B1FC∥平面EAD;
(II)求證:BC1⊥平面EAD.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖所示,已知直三棱柱ABC-A′B′C′,AC=AB=AA′=2,AC,AB,AA′兩兩垂直,E,F,H分別是AC,AB,BC的中點,
(I)證明:EF⊥AH;    
(II)求四面體E-FAH的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長為2,底面△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,AC=2,D是A A1的中點.
(Ⅰ)求異面直線AB和C1D所成的角(用反三角函數表示);
(Ⅱ)若E為AB上一點,試確定點E在AB上的位置,使得A1E⊥C1D;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求點D到平面B1C1E的距離.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC;M.N.P分別是棱BC.CC1.B1C1的中點.A1Q=3QA, BC=
2
AA1

(Ⅰ)求證:PQ∥平面ANB1;
(Ⅱ)求證:平面AMN⊥平面AMB1

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