Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）要使f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，試求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，若函數(shù)滿足y_極大=1，y_極小=-3，試求y=f（x）的解析式；
（3）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ，且0≤θ≤

π

4

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x），要使f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞增，只需x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，利用分離參數(shù)法，即可求出a的范圍；
（2）由（1）中導(dǎo)函數(shù)的解析式，我們易求出函數(shù)取極值時(shí)x的值，然后根據(jù)函數(shù)f（x）的極小值和極大值，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程后即可求出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知tanθ=f′（x），然后根據(jù)傾斜角為θ的范圍求出f′（x）的范圍在x∈[0，1]恒成立，將a分離出來，使之恒成立即可求出a的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax，
由題設(shè)，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）≥0恒成立，即-3x²+2ax≥0恒成立，
∴2a≥3x恒成立，
∴2a≥6，
∴a≥3
（2）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=-3x²+2ax=x（-3x+2a）
a＞0時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，

2

3

a）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（

2

3

a，0）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0
∴函數(shù)在0處取得極大值，在

2

3

a處取得極小值
∵函數(shù)滿足y_極大=1，y_極小=-3，
∴f（0）=1，f（

2

3

a）=-3
∴a=-3，b=1
∴f（x）=-x³-3x²+1
（3）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，tanθ=f′（x）=-3x³+2ax
∵0≤θ≤

π

4

，∴0≤f'（x）≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1在x∈（0，1]恒成立，
由（1）知，當(dāng)-3x²+2ax≥0時(shí)，a≥

3

2

，
由-3x²+2ax≤1得2a≤3x+

1

x

恒成立，
∵3x+

1

x

≥2

3

（當(dāng)且僅當(dāng)x=

3

3

時(shí)，取等號(hào)）
∴2a≤2

3

∴a≤

3

∴

3

2

≤a≤

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與劃歸的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．