已知圓C的圓心與點(diǎn)P(-2,1)關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,直線3x+4y-11=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=6,求圓C的方程.
分析:設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,b),根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱建立關(guān)于a、b的方程組,聯(lián)解求出a、b,可得圓心C的坐標(biāo);再根據(jù)垂徑定理列式,可求出圓的半徑,從而得到所求圓C的方程.
解答:解:設(shè)圓心坐標(biāo)C(a,b),
由圓心C與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,得到直線CP與y=x+1垂直,
結(jié)合y=x+1的斜率為1得直線CP的斜率為-1,所以
1-b
-2-a
=-1,化簡得a+b+1=0①,
再由CP的中點(diǎn)在直線y=x+1上,得到
1+b
2
=
a-2
2
+1,化簡得a-b-1=0②
聯(lián)解①②,可得a=0,b=-1,
∴圓心C的坐標(biāo)為(0,-1),可得圓心C到直線AB的距離d=
|-4-11|
32+42
=3,
又∵
1
2
|AB|=3,
∴根據(jù)勾股定理,得r滿足:r2=d2+(
1
2
|AB|)=18,
因此,圓C的方程為x2+(y+1)2=18.
點(diǎn)評(píng):本題給出圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱,在已知圓被已知直線截得弦長的情況下,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)、垂徑定理及點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí),屬于中檔題.
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