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已知向量p=（sinax，sinax），q=（sinax，-cosax），其中a＞0，若函數f（x）=p•q的圖象與直線y=m相切，并且切點的橫坐標依次成公差為的等差數列．
（Ⅰ）求a、m的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞減區(qū)間．
【答案】分析：（Ⅰ）化簡函數f（x）=sin2ax-sinax•cosax-，利用二倍角公式將f（x）化為f（x）=-sin（2ax+），結合函數圖象可得所以m為f（x）的最大值或最小值；根據周期求出a的值，
（Ⅱ）然后再利用三角函數的單調性求函數f（x）的單調增區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=-sinax•cosax+sin2ax-（a＞0）=-=-（3分）
因為y=f（x）的圖象與y=m相切．所以m為f（x）的最大值或最小值．
即m=或m=．
因為切點的橫坐標依次成公差為 的等差數列，所以f（x）的最小正周期為 ．
由T==得a=2．
∴f（x）=-sin（4x+）．
（Ⅱ）由題設知，∴f（x）=-sin（4x+），
由 得
∴f（x）的單調減區(qū)間 （12分）
點評：本題考查平面向量數量積的運算、正弦函數的單調性，等差數列的性質，三角函數的周期性及其求法，三角函數的最值，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(1，1)，向量
n
與向量
m
夾角為
3
4
π，且
m
•
n
=-1．
（1）若向量
n
與向量
q
=（1，0）的夾角為
π
2
，向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，其中A，C為△ABC的內角，且A，B，C依次成等差數列，試求|
n
+
p
|的取值范圍．
（2）若A、B、C為△ABC的內角，且A，B，C依次成等差數列，A≤B≤C，設f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2，f（A）的最大值為5-2
2
，關于x的方程sin(ax+
π
3
)=
m
2
(a＞0)在[0，
π
2
]上有相異實根，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=（1，1），
q
=（1，0），＜
n
，
p
＞=
π
2
 且
m
•
n
=-1；若△ABC的內角A，B，C依次成等差數列，且A≤B≤C；
（1）若關于x的方程sin（2x+
π
3
 ）=
m
2
 在[0，B]上有相異實根，求實數m的取值范圍；
（2）若向量
p
=（cosA，2cos2
C
2
），試求|
n
+
p
|的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(1，cosωx)，
n
=(sinωx，
3
)（ω＞0），函數f(x)=
m
•
n
，且f（x）圖象上一個最高點為P(
π
12
，2)，與P最近的一個最低點的坐標為(
7π
12
，-2)．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設a為常數，判斷方程f（x）=a在區(qū)間[0，
π
2
]上的解的個數；
（3）在銳角△ABC中，若cos(
π
3
-B)=1，求f（A）的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2012屆江西省南昌市高三第一次模擬測試卷理科數學試卷 題型：填空題

已知向量p＝(－cos 2x，a)，q＝(a,2－sin 2x)，函數f(x)＝p·q－5(a∈R，a≠0)

(1)求函數f(x)(x∈R)的值域；

(2)當a＝2時，若對任意的t∈R，函數y＝f(x)，x∈(t，t＋b]的圖像與直線y＝－1有且僅有兩個不同的交點，試確定b的值(不必證明)，并求函數y＝f(x)的在[0，b]上單調遞增區(qū)間．

 

 

 

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科目：高中數學 來源：江西省南昌市2011-2012學年高三下學期第一次模擬測試卷（數學理） 題型：解答題

 

已知向量p＝(－cos 2x，a)，q＝(a,2－sin 2x)，函數f(x)＝p·q－5(a∈R，a≠0)

(1)求函數f(x)(x∈R)的值域；

(2)當a＝2時，若對任意的t∈R，函數y＝f(x)，x∈(t，t＋b]的圖像與直線y＝－1有且僅有兩個不同的交點，試確定b的值(不必證明)，并求函數y＝f(x)的在[0，b]上單調遞增區(qū)間．

 

 

 

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