Question

（12分）已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)a=3，b=-1時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)a>0，且a為常數(shù)時(shí)，若函數(shù)對(duì)任意的，總有成立，試用a表示出b的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）參考解析.

【解析】

試題分析：（1）由a=3，b=-1即可得，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的增減，由此得到函數(shù)的最小值.

（2）由可得，，由此等價(jià)證明函數(shù)在上單調(diào)遞增.通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，以及分離變量，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，恒成立，即，.所以再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分類求出最小值.即可得到結(jié)論.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

∴

∵，∴時(shí)，；時(shí)，

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴在處取得最小值，即.

（2）由題意，對(duì)任意的，總有成立.

令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增

∴在上恒成立，∴在上恒成立.

構(gòu)造函數(shù)則

∴F（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

（Ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴

∴，從而

（Ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增

，從而

綜上，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，

考點(diǎn)：1.函數(shù)導(dǎo)數(shù)解決最值問題.2.構(gòu)建新函數(shù)的思想.3.分類的思想.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 試題屬性

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