Question

【題目】已知過拋物線焦點(diǎn)且傾斜角的直線與拋物線交于點(diǎn)的面積為．

（I）求拋物線的方程；

（II）設(shè)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為直線與直線軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)是以為圓心為半徑的圓上任意兩點(diǎn)，求最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（I）；（II）．

【解析】

試題

（I）拋物線焦點(diǎn)為，寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元后可得，其中，可再求出原點(diǎn)到直線的距離，由求得，也可由求得；

（II）首先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出兩切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，從而得直線方程為，從而可得坐標(biāo)，得的長(zhǎng)，而要使最大，則與圓相切，這樣可求得，最后由基本不等式可得最大值．也可用正切函數(shù)求最大值．

試題解析：

（I）依題意，，所以直線的方程為；

由得，

所以，

到的距離，

，拋物線方程為

（II）設(shè)，由得，

則切線方程為即，

同理，切線方程為，

把代入可得故直線的方程為即

由得，

，

當(dāng)與圓相切時(shí)角最大，

此時(shí)，等號(hào)當(dāng)時(shí)成立

當(dāng)時(shí)，所求的角最大．

綜上，當(dāng)最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為