Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F(xiàn)，G，H分別為PB，EB，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：FG∥平面PED；
（2）求平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）利用三角形的中位線的性質(zhì)證明FG∥PE，再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩個(gè)平面的法向量所成的角與二面角相等或互補(bǔ)，由兩個(gè)平面法向量所成的角求解二面角的大小

解答： （1）證明：∵F，G分別為PB，BE的中點(diǎn)，
∴FG∥PE，
∵FG?平面PED，PE?平面PED，
∴FG∥平面PED；
（2）解：∵EA⊥平面ABCD，EA∥PD，
∴PD⊥平面ABCD，
∵AD，CD?平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD⊥CD．
以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)EA=1   
∵AD=PD=2EA，
∴D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1），
∴

PB

=（2，2，-2），

PC

=（0，2，-2）．
∵F，G，H分別為PB，EB，PC的中點(diǎn)，
∴F（1，1，1），G（2，1，0.5），H（0，1，1），
∴

GF

=（-1，0，0.5），

GH

=（-2，0，0.5）
設(shè)

n1

=（x，y，z）為平面FGH的一個(gè)法向量，則

-x+0.5z=0 -2x+0.5z=0

，
得

n1

=（0，1，0）
同理可得平面PBC的一個(gè)法向量為

n2

=（0，1，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

2

2

，
∴平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大小為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定，考查了面面角，訓(xùn)練了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此類問題的關(guān)鍵是正確建系，準(zhǔn)確求用到的點(diǎn)的坐標(biāo)，此題是中檔題．