Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，給出下列四個有關(guān)數(shù)列{a_n}的命題：
p₁：如果a₁＞0且q＞1，那么數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列；
p₂：如果a₁＜0且q＜1，那么數(shù)列{a_n}是遞減的等比數(shù)列；
p₃：如果a₁＜0且0＜q＜1，那么數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列；
p₄：如果a₁＞0且0＜q＜1，那么數(shù)列{a_n}是遞減的等比數(shù)列．
其中為真命題的個數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由命題的條件可得數(shù)列項的正負(fù)，可得

an+1

an

=q的范圍，由不等式的性質(zhì)可判a_n+1與a_n的大小關(guān)系可得數(shù)列的單調(diào)性．

解答：解：p₁：當(dāng)a₁＞0且q＞1時，a_n＞0
可得

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＞1，即a_n+1＞a_n，
∴數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，故為真命題；
p₂：當(dāng)a₁＜0且q＜1時，不妨取a₁=-1，q=-1，
可得數(shù)列為擺動數(shù)列，故為假命題；
p₃：當(dāng)a₁＜0且0＜q＜1時，a_n＜0
可得

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＜1，即a_n+1＞a_n，
∴數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，故為真命題；
p₄：當(dāng)a₁＞0且0＜q＜1時，a_n＞0
可得

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＜1，即a_n+1＜a_n，
∴數(shù)列{a_n}是遞減的等比數(shù)列，故為真命題；
故選：C

點評：本題考查等比數(shù)列的增減性，涉及不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．