Question

已知三點(diǎn)A（0，a），B（b，0），C（c，0），b+c≠0，a≠0，矩形EFGH的頂點(diǎn)E、H分別在△ABC的邊AB、AC上，F(xiàn)、G都在邊BC上，不管矩形EFGH如何變化，它的對(duì)角線EG、HF的交點(diǎn)P恒在一條定直線l上，那么直線l的方程是

 

．

Answer 1

分析：因?yàn)椴还芫匦蜤FGH如何變化，它的對(duì)角線EG、HF的交點(diǎn)P恒在一條定直線l上，故取兩種特殊情況分別求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)即可求出直線l的方程，方法是：E和H分別為|AB|和|AC|的中點(diǎn)或三等份點(diǎn)，分別求出E、F、G、H四點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用相似得到相應(yīng)的P點(diǎn)、P′點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P和P′的坐標(biāo)寫出直線方程即為定直線l的方程．

解答：解：①當(dāng)E、H分別為|AB|和|AC|的中點(diǎn)時(shí)，
得到E（

b

2

，

a

2

），F(xiàn)（

b

2

，0），H（

c

2

，

a

2

），G（

c

2

，0）
則|PQ|=

a

4

，|FQ|=

1

2

|EH|=

1

4

|BC|=

1

4

（c-b），
而|FO|=-

b

2

，所以|OQ|=|FQ|-|OF|=

1

4

（c-b）+

b

2

=

c+b

4

，所以P（

c+b

4

，

a

4

）；
②當(dāng)E、H分別為|AB|和|AC|的三等份點(diǎn)時(shí)，
得到E（

b

3

，

2a

3

），F(xiàn)（

b

3

，0），H（

c

3

，

2a

3

），G（

c

3

，0）
則|PQ|=

a

3

，|FQ|=

1

2

|EH|=

1

6

|BC|=

1

6

（c-b），而|FO|=-

b

3

，
所以|OQ|=|FQ|-|OF|=

1

6

（c-b）+

b

3

=

c+b

6

，所以P′（

c+b

6

，

a

3

）．
則直線PP′的方程為：y-

a

4

=

a 3 - a 4

c+b 6 - c+b 4

（x-

c+b

4

），化簡得y=

a

2

-

a

b+c

x
故答案為：y=

a

2

-

a

b+c

x

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用三角形相似得比例解決數(shù)學(xué)問題，會(huì)根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線的一般式方程，是一道中檔題．