Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．

	PM2.5日均值（微克/立方米）
2	8
3	7	1	4	3
4	4	5	5
6	3	8
7	9
8	6	3
9	2	5

某城市環(huán)保局從該市市區(qū)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）．
（Ⅰ）從這15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出三天數(shù)據(jù)，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率；
（Ⅱ）從這15天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）根據(jù)這15天的PM2.5日均值來估計一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按365天計算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達到一級或二級．

Answer 1

解：（Ⅰ）從莖葉圖可知，空氣質(zhì)量為一級的有4天，為二級的有6天，超標(biāo)的有5天
記“從15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出三天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件A
則…（3分）
（Ⅱ）ξ的可能值為0，1，2，3，…（4分）
，
，
，
，…（8分）
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P

…（9分）
…（10分）
（Ⅲ）15天的空氣質(zhì)量達到一級或二級的頻率為…（11分）
，
所以估計一年中有天的空氣質(zhì)量達到一級或二級．…（13分）
（說明：答243天，244天不扣分）
分析：（Ⅰ）從15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出三天，共有C種情況，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級，共有種情況，由此可求概率；
（Ⅱ）ξ服從超幾何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值為0，1，2，3，故可得其分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）一年中每天空氣質(zhì)量達到一級或二級的概率為P=，一年中空氣質(zhì)量達到一級或二級的天數(shù)η～B（360，），求出期望，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查等可能事件概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，屬于中檔題．