Question

已知函數(shù)f（x）=(

1

2

)x•g(x)=

x-2

x+1

（1）求函數(shù)F（x）=f（2x）-f（x），x∈[0，2]的值域；
（2）試判斷H（x）=f（-2x）+g（x）在（-1，+∞）的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

分析：（1）求出F（X）的解析式，通過換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過配方求出二次函數(shù)的對稱軸，求出函數(shù)的最值．
（2）求出H（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）F（x）=(

1

2

)2x-(

1

2

)x
令t=(

1

2

)x（t＞0）則
y=t2-t=(t-

1

2

)2-

1

4

當(dāng)t=

1

2

，y最小為-

1

4

當(dāng)t=2時，y有最大值為2
故F（x）的值域為[-

1

4

，2]
（2）H（x）=4x-

3

x+1

+1
∵H′(x)=4xlnx+

3

(x+1)2

＞0
∴H（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增

點評：本題考查換元的數(shù)學(xué)方法、考查二次函數(shù)的最值的求法、考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．