Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，求：
（Ⅰ）D₁E與平面BC₁D所成角的大小；
（Ⅱ）二面角D-BC₁-C的大��；
（Ⅲ）異面直線B₁D₁與BC₁之間的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AA₁方向?yàn)閄、Y、Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，分別求出直線D1E的方向向量及平面BC₁D的法向量，代入向量夾角公式即可求出直線BD與平面A₁BC₁所成角的余弦值．
（Ⅱ）先求出面BC₁D、面BC₁C 的一個(gè)法向量，根據(jù)向量所成的角得到結(jié)果．
（Ⅲ） 異面直線B₁D₁與BC₁之間的距離轉(zhuǎn)化成B₁D₁到面BC₁D，的距離，即為 B₁到面BC₁D，的距離，再利用向量法求出距離．
解答：解：（Ⅰ）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AA₁方向?yàn)閄、Y、Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，則E（1，0，0）D1（0，2，2）=（-1.2，2）
B （2，0，0）D（0，2，0）C1（2，2，2）=（0，2，2）=（-2，2，0）設(shè)面BC₁D的一個(gè)法向量為=（x，y，z）則
即取x=1得為=（1，1，-1），與所成角的余弦值等于=，∴D₁E與平面BC₁D所成角θ的正弦值為 
D₁E與平面BC₁D所成角的大小為arcsin；
 （Ⅱ）易知面BC₁C的一個(gè)法向量=（1，0，0），兩法向量夾角余弦值為=，又二面角D-BC₁-C是銳二面角，∴大小為arccos
（Ⅲ）∵BD∥B₁D₁，BD?面BC₁D，∴B₁D₁∥面BC₁D，，異面直線B₁D₁與BC₁之間的距離等于B₁D₁到面BC₁D，的距離，即為 B₁到面BC₁D，的距離，
=（0，0，2），在方向上的投影為，∴異面直線B₁D₁與BC₁之間的距離
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面角、二面角的度量、異面直線之間的距離．考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．