Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a為實(shí)數(shù)）．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)a＞2，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）由已知f（-x）=f（x），即|2x-a|=|2x+a|，解得a=0
（2）
當(dāng)時，f（x）=x²+2x-a=（x+1）²-（a+1）
由，得x＞1，從而x＞-1
故f（x）在時單調(diào)遞增，f（x）的最小值為
當(dāng)時，f（x）=x²-2x+a=（x-1）²+（a-1）
故當(dāng)時，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜1時，f（x）單調(diào)遞減
則f（x）的最小值為f（1）=a-1
由，知f（x）的最小值為a-1．
分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義可得f（-x）=f（x）然后代入即可求出a
（2）可根據(jù)絕對值的定義可將函數(shù)f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a為實(shí)數(shù)）轉(zhuǎn)化為）然后根據(jù)a＞2再結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性可求出f（x）在各段的最小值然后比較兩個最小值的大小則較小的最小值即為所求．
點(diǎn)評：本題主要考查了偶函數(shù)的概念和利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性求最小值．解題的關(guān)鍵是第一問要知道f（x）為偶函數(shù)則必有f（-x）=f（x）而第二問首先要根據(jù)絕對值的意義將所給函數(shù)化為熟知的分段函數(shù)然后結(jié)合a的取值范圍和每一段的一元二次函數(shù)的單調(diào)性求出每一段的最小值最后只需比較兩最小值的大小取較小的即可！