Question

【題目】橢圓的右焦點為，左頂點為，線段的中點為，圓過點，且與交于， 是等腰直角三角形，則圓的標準方程是____________

Answer 1

【答案】

【解析】

設A（﹣a，0），求得AF的中點B的坐標，可得圓F的半徑和方程，設D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，﹣n），由△BDE為等腰直角三角形，可得m，n的關系，將D的坐標代入圓的方程，解方程可得m＝1，求出n，代入橢圓方程，解方程可得a＝2，即可得到圓F的方程．

如圖設A（﹣a，0），可得a＞1，c＝1，b2＝a2﹣1，

線段AF的中點為B（，0），

圓F的圓心為F（1，0），半徑r＝|BF|，

設D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，﹣n），

由△BDE為等腰直角三角形，可得kBD＝1，

即1，即n＝m，

由D在圓F：（x﹣1）2+y2＝（）2上，

可得（m﹣1）2+（m）2＝（）2，

化簡可得（m﹣1）（2m﹣1+a）＝0，

解得m＝1或m（舍去），

則n，

將D（1，）代入橢圓方程，可得

1，

化簡可得a＝2或（舍去），

則圓F的標準方程為（x﹣1）2+y2，

故答案為：（x﹣1）2+y2．