Question

（2013•寧德模擬）已知曲線f（x）=x³+bx²+cx在點我A（-1，f（-1）），B（3，f（3））處的切線互相平行，且函數(shù)f（x）的一個極值點為x=0．
（I）求實數(shù)b，c的值；
（II ）若函數(shù)y=f（x）（x∈[-

1

2

，3]）的圖象與直線y=m恰有三個交點，求實數(shù)m的取值范圍；
（III）若存在x₀∈[1，e]（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），使得

1

6

f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立（其中f′（x）為函數(shù)f（x）的導函數(shù)），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由曲線在A、B兩點處的切線互相平行，則函數(shù)在x=-1和x=3時的導數(shù)相等，再由0是函數(shù)的一個極值點，則x=0時的導數(shù)是0，聯(lián)立方程組即可解得實數(shù)b，c的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的符號分析出原函數(shù)在[-

1

2

，3]內的單調區(qū)間，找出函數(shù)在（-

1

2

，3）上的極值點，求出極值，把極值和端點處的函數(shù)值比較后，根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象與y=m恰有三個交點即可得到實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）存在x₀∈[1，e]，使得

1

6

f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立，可轉化為函數(shù)g(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x在[1，e]上的最小值小于等于0，求出函數(shù)g（x）的導函數(shù)，通過對a分類求解函數(shù)g（x）在[1，e]上的最小值，由最小值小于等于0求解實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³+bx²+cx，得f^′（x）=3x²=2bx+c，
∵曲線f（x）=x³+bx²+cx在點A（-1，f（-1）），B（3，f（3））處的切線互相平行，且函數(shù)f（x）的一個極值點為x=0，
∴

f′(-1)=f′(3) f′(0)=0

，即

3-2b+c=27+6b+c c=0

，解得：

b=-3 c=0

．
∴實數(shù)b，c的值分別為-3，0；
（Ⅱ）由f（x）=x³-3x²，∴f^′（x）=3x²-6x，
由f^′（x）＞0，得x＜0或x＞2，由f^′（x）＜0，得0＜x＜2．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

1

2

，0)，（2，3]上遞增，在（0，2）上遞減．
且f(-

1

2

)=(-

1

2

)3-3×(-

1

2

)2=-

7

8

，f（0）=0，f（2）=2³-3×2²=-4，f（3）=3³-3×3²=0．
∴函數(shù)y=f（x）（x∈[-

1

2

，3]）的圖象與直線y=m恰有三個交點，則-

7

8

≤m＜0．
故所求實數(shù)m的取值范圍是[-

7

8

，0)．
（Ⅲ）依題意知存在x₀∈[1，e]，使得

1

6

f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立，即

1

2

x02-x0+alnx0≤ax0成立，
設g(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x，則g（x）_min≤0，
g′(x)=x+

a

x

-(a+1)=

(x-1)(x-a)

x

，
①當a≤1時，由x∈（1，e），g^′（x）＞0，得函數(shù)g（x）在[1，e]上遞增，
∴g(x)min=g(1)=

1

2

-(a+1)≤0，得-

1

2

≤a≤1．
②當1＜a＜e時，可知在（1，a）上g^′（x）0，
得函數(shù)g（x）在（1，a）上遞減，在（a，e）上遞增，
∴g(x)min=g(a)=-

1

2

a2+alna-a≤0恒成立，∴1＜a＜e．
③當a≥e時，在x∈（1，e）上g^′（x）＜0，∴函數(shù)g（x）在[1，e]上遞減，
∴g(x)min=g(e)=-

1

2

e2+a-ae-e≤0，∴a≥

e2-2e

2(e-1)

，又

e2-2e

2(e-1)

＜e，
∴a≥e．
綜上可知：a≥-

1

2

．
∴實數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，+∞）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查了函數(shù)在某點取得極值的條件，考查了數(shù)學轉化思想，此題的難點在于把存在x₀∈[1，e]，使得

1

6

f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立轉化為一個函數(shù)的最小值小于等于0，考查了學生靈活分析和處理問題的能力．此題屬難題．