Question

等差數(shù)列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，記S_n為{a_n}的前n項和，令b_n=a_na_n+1，數(shù)列{

1

bn

}的前n項和為T_n．
（1）求a_n；（2）求S_n；（3）求T_n．

Answer 1

分析：（1）等差數(shù)列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，可得關(guān)于首項和公差的方程組，解方程組求出基本項（首項與公差）可求數(shù)列的通項公式，
（2）由（1）結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求
（3）由（1）的結(jié)論，及b_n=a_na_n+1，可以給數(shù)列{

1

bn

}的通項公式及前n項和為T_n的表達式．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₃=7，a₁+a₂+a₃=12
∴

a1+2d=7 3a1+3d=12

解得

a1=1 d=3

∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=3n-2（n∈N^*）
（2）由（1）可得，Sn=n+

n(n-1)×3

2

=

3n2-n

2

+n=

3n2+n

2

（3）∵b_n=a_na_n-1，
∴b_n=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
∴數(shù)列{

1

bn

}的前n項和Tn=

1

3

[1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-5

-

1

3n-2

+

1

3n-2

-

1

3n+1

]=

1

3

(1-

1

3n+1

)

點評：通過公差列方程（組）來求解基本量是數(shù)列中最基本的方法，解題中也要注意數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用．還要注意數(shù)列的通項公式為

1

f(n)•f(n+1)

的形式時，常使用裂項法將數(shù)列的一項

1

f(n)•f(n+1)

分解為K[

1

f(n)

-

1

f(n+1)

]的形式，即裂項求和的應(yīng)用