Question

已知三棱錐P－ABC是正三棱錐，求證：

(1)它的各個側面與底面所成的角相等；

(2)正三棱錐底面積與側面積S之比是各個側面與底面所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

證明：因三棱錐P－ABC是正三棱錐，故頂點P在底面上的射影O是底面正△ABC的中心，連結AO、BO、CO，并延長分別交對邊于D、E、F三點． 　　(1)∵△ABC是正三角形， 　　∴AD⊥BC，OD＝OE＝OF． 　　又∵PO⊥BC，∴BC⊥面PAD．∴BC⊥PD． 　　∴∠PDA就是側面PBC與底面ABC所成二面角的平面角． 　　同理，∠PEB、∠PFC分別是另兩個側面與底面所成二面角的平面角． 　　可證得Rt△PFO≌Rt△PDO≌Rt△PEO， 　　∴∠PEB＝∠PFC＝∠PDA，即結論(1)成立． 　　(2)由∠PEB＝∠PFC＝∠PDA， 　　∴cos∠PEB＝cos∠PFC＝cos∠PDA， 　　即cos∠PEB＝． 　　∴cos∠PEB＝．∴結論(2)成立． 　　解析：(1)本題首先要作出各個側面與底面所成的二面角．以側面PBC為例，取BC的中點D，連結PD、AD，則易證BC⊥PD，BC⊥AD．從而∠PDA就是側面PBC與底面ABC所成二面角的平面角．(2)注意側面△PBC與其在底面上的投影△OBC是底邊相等的三角形，且它們的高同在Rt△PDO中，且比例恰為側面與底面所成角的余弦值，從而易得其面積的比例關系．