Question

取棱長為a的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，過從此頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，依次進(jìn)行下去，對正方體的所有頂點(diǎn)都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個(gè)多面體，則此多面體：①有12個(gè)頂點(diǎn)；②有24條棱；③有12個(gè)面；④表面積為3a²；⑤體積為

5

6

a3． 以上結(jié)論正確的是（　�。�

• A、①②⑤
• B、①②③
• C、②④⑤
• D、②③④⑤

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：先根據(jù)題意畫出圖形，如圖，原來的六個(gè)面還在只不過是變成了一個(gè)小正方形，再添了八個(gè)頂點(diǎn)各對應(yīng)的一個(gè)三角形的面，計(jì)算或數(shù)一數(shù)它的面數(shù)等，再結(jié)合割補(bǔ)法求出它的表面積及體積即可．

解答： 解：如圖，原來的六個(gè)面還在只不過是變成了一個(gè)小正方形，
再添了八個(gè)頂點(diǎn)各對應(yīng)的一個(gè)三角形的面，
所以總計(jì)6+8=14個(gè)面，故③錯(cuò)；
每個(gè)正方形4條邊，每個(gè)三角形3條邊，4×6+3×8=48，
考慮到每條邊對應(yīng)兩個(gè)面，所以實(shí)際只有

1

2

×48=24條棱．②正確；
所有的頂點(diǎn)都出現(xiàn)在原來正方體的棱的中點(diǎn)位置，
原來的棱的數(shù)目是12，所以現(xiàn)在的頂點(diǎn)的數(shù)目是12．
或者從圖片上可以看出每個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)4條棱，
每條棱很明顯對應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)，
所以頂點(diǎn)數(shù)是棱數(shù)的一半即12個(gè)．①正確；
三角形和四邊形的邊長都是

2

2

a，所以正方形總面積為6×

1

2

a²=3a²，
三角形總面積為8×

1

2

×

1

2

a²sin60°=

3

a²，
表面積（3+

3

）a²，故④錯(cuò)；
體積為原正方形體積減去8個(gè)三棱錐體積，每個(gè)三棱錐體積為8×

1

6

（

a

2

）³=

1

6

a²，
剩余總體積為a³-

1

6

a³=

5

6

a³．⑤正確．
故選：A．

點(diǎn)評：本小題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、多面體的表面積與體積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．